Літаратурная кар'ера Вазнясенскага пачалася са знаёмства з Барысам Пастарнакам, якому ён у 14 гадоў даслаў свае вершы. Пазней Вазнясенскі прызнаваўся, што Пастарнак зрабіў на яго "выключны ўплыў як паэт і як чалавек".

Першы апублікаваны зборнік Вазнясенскага, "Мозаика", які выйшаў у 1960 годзе, выклікаў крытыку ўладаў і абвінавачванні ў "антысавеччыне". Яму перыядычна забаранялі выдавацца, аднак новыя зборнікі яго вершаў распаўсюджвалі падпольна. Пазней, у 70-я гады, Вазнясенскі пачаў публікавацца больш-менш адкрыта і ў 1978 годзе нават быў узнагароджаны Дзяржаўнай прэміяй СССР за зборнік "Витражных дел мастер".

У 1964 годзе выйшаў яго зборнік "Антимиры", паводле якога ў 1965-м у Тэатры на Таганцы быў пастаўлены спектакль. Гэтая пастаноўка карысталася вялікай папулярнасцю сярод маскоўскай публікі на фоне вялікай цікавасці да паэзіі, якая назіралася ў 60-я гады XX стагоддзя. Усяго Вазнясенскі выпусціў больш за 40 вершаваных зборнікаў, у тым ліку "Взгляд", "Тень звука" і "На виртуальном ветру".

За сваё жыццё Андрэй Вазнясенскі атрымаў мноства ўзнагарод – як расійскіх, так і міжнародных. Ён – кавалер ордэна Працоўнага Чырвонага Сцяга, а таксама ордэнаў "За заслугі перад Айчынай" III і II ступені. Акрамя таго, Вазнясенскі – ганаровы сябра мноства акадэмій, у тым ліку Парыжскай акадэміі братоў Ганкураў і Еўрапейскай акадэміі паэзіі.